رياضيات معادلة لابلاس

معادلة لابلاس ، المعادلة التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية مفيدة على نطاق واسع في الفيزياء لأن حلولها R (المعروفة بالوظائف التوافقية) تحدث في مشاكل الإمكانات الكهربائية والمغناطيسية والجاذبية ودرجات حرارة الحالة المستقرة والديناميكا المائية. تم اكتشاف المعادلة من قبل عالم الرياضيات والفلكي الفرنسي بيير سيمون لابلاس (1749-1827).

مبادئ العلوم الفيزيائية: الاختلاف ومعادلة لابلاس

عندما لا تكون الشحنات نقاطًا معزولة ولكنها تشكل توزيعًا مستمرًا بكثافة شحنة محلية - وهي نسبة الشحنة δ

تنص معادلة لابلاس على أن مجموع المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية لـ R ، الدالة غير المعروفة ، فيما يتعلق بالإحداثيات الديكارتية ، تساوي صفر:

غالبًا ما يتم تمثيل المجموع على اليسار بالتعبير ∇ ² R ، حيث يُطلق على الرمز ∇ ² اسم Laplacian أو عامل لابلاس.

يتم وصف العديد من الأنظمة الفيزيائية بشكل أكثر ملاءمة باستخدام أنظمة الإحداثيات الكروية أو الأسطوانية. يمكن إعادة صياغة معادلة لابلاس في هذه الإحداثيات ؛ على سبيل المثال ، في الإحداثيات الأسطوانية ، معادلة لابلاس هي