فيزياء ميكانيكا الموائع

اللزوجة

كما هو موضح أعلاه ، يمكن مناقشة عدد من الظواهر ذات الأهمية الجسدية الكبيرة باستخدام أكثر بقليل من قانون الحفاظ على الطاقة ، كما عبر عنه قانون برنولي. ومع ذلك ، اقتصرت الحجة حتى الآن على حالات التدفق المطرد. لمناقشة الحالات التي لا يكون فيها التدفق ثابتًا ، هناك حاجة لمعادلة الحركة للسوائل ، ولا يمكن للمرء أن يكتب معادلة واقعية للحركة دون مواجهة المشاكل التي تقدمها اللزوجة ، والتي تم وضعها بشكل متعمد حتى الآن.

الإجهاد في الحركة الصفائحية

تم إضفاء الطابع الرسمي على مفهوم اللزوجة لأول مرة من قبل نيوتن ، الذي اعتبر أن إجهادات القص من المحتمل أن تنشأ عندما يخضع السائل لما يسمى بالحركة الصفحية بنوع ملف تعريف السرعة المقترح في الشكل 9 أ ؛ صفيحة هنا الطائرات العادية لس ₂ -axis، وأنها تتحرك في اتجاه س ₁ -axis مع سرعة الخامس ₁ ، والذي يزيد بشكل خطي مع x ₂. اقترح نيوتن أنه عندما تنزلق كل صفيحة فوق تلك الموجودة أدناه ، فإنها تمارس نوعًا من قوة الاحتكاك على الأخيرة في الاتجاه الأمامي ، وفي هذه الحالة لا بد أن تواجه الصفيحة العلوية تفاعلًا متساوًا في الاتجاه الخلفي. تشكل قوة هذه القوى لكل وحدة مساحة مكون إجهاد القص المكتوب عادة كـ σ ₁₂ (لا يجب الخلط بينه وبين التوتر السطحي ، والذي تم استخدام الرمز above أعلاه). يوضح الشكل 9 ب ، في الارتفاع ، رؤية مكبرة لعنصر متناهي الصغر للسائل ذي الشكل المكعب ، ويشار إلى اتجاهات القوى التي يعاني منها هذا المكعب المرتبط بـ σ ₁₂ بواسطة الأسهم. تظهر الأسهم الأخرى اتجاهات القوى المرتبطة بما يسمى بالضغوط العادية σ ₁₁ و σ ₂₂ ، والتي في غياب حركة السائل ستكون متساوية ، وفقًا لقانون باسكال ، إلى -p. الآن σ ₁₂ يساوي صفرًا بوضوح عندما يكون معدل تغير السرعة ، ∂v ₁ / ∂x ₂ ، صفرًا ، لذلك لا يوجد زلة ، ويفترض أنه يزيد رتيبًا مع زيادة 1v ₁ / ∂x ₂. افترض نيوتن الافتراض المعقول بأن الاثنين مرتبطان خطياً - أي ذلك

الاسم الكامل للمعامل η هو لزوجة القص لتمييزه عن اللزوجة السائبة ، ب ، التي تم تعريفها أدناه. ومع ذلك ، غالبًا ما يتم حذف كلمة القص في هذا السياق.

الآن إذا كان إجهاد القص الوحيد الذي يعمل على العنصر المكعب للسائل المرسوم في الشكل 9 ب were ₁₂ ، فإن المكعب سيختبر عزمًا يميل إلى جعله يلتوي بمعنى اتجاه عقارب الساعة. نظرًا لأن حجم عزم الدوران سيختلف مثل القوة الثالثة للأبعاد الخطية للمكعب ، في حين أن لحظة القصور الذاتي للعنصر ستختلف مثل القوة الخامسة ، فإن التسارع الزاوي الناتج لمكعب متناهي الصغر سيكون لانهائي. يمكن للمرء أن يستنتج أن أي ميل للالتفاف بمعنى اتجاه عقارب الساعة يؤدي على الفور إلى إجهاد القص الإضافي σ ₂₁ ، والذي يشار إلى اتجاهه في الرسم البياني ، وأن σ ₁₂ و σ ₂₁ متساويان في جميع الأوقات. ويترتب على ذلك أن المعادلة (147) لا يمكن أن تكون تعبيرًا كاملاً عن ضغوط القص هذه ، لأنها لا تتضمن إمكانية أن يتحرك المائع في اتجاه x ₂ ، مع سرعة v ₂ تختلف مع x ₁. التعبير الكامل لما يسمى السائل النيوتوني هو

يمكن تدوين عبارات مماثلة لـ σ ₂₃ (= σ ₃₂) و σ ₃₁ (= σ ₁₃). منذ يوم نيوتن ، تم إثبات هذه التعابير الافتراضية بشكل كامل للغازات والسوائل البسيطة ، ليس فقط من خلال التجربة ولكن أيضًا من خلال تحليل الحركات الجزيئية والتفاعلات الجزيئية في مثل هذه السوائل التي تخضع للقص ، ويمكن لهذه السوائل أن تتنبأ بحجم η مع نجاح معقول. ومع ذلك ، توجد سوائل أكثر تعقيدًا يكون الوصف النيوتوني لإجهاد القص غير مناسب لها ، وبعضها مألوف جدًا في المنزل. في بياض البيض ، على سبيل المثال ، وفي معظم أنواع الشامبو ، توجد جزيئات طويلة السلسلة تتشابك مع بعضها البعض ، وقد يعوق التشابك جهودهم للاستجابة للتغيرات في البيئة المرتبطة بالتدفق. ونتيجة لذلك ، قد تعكس الضغوط التي تعمل في مثل هذه السوائل التشوهات التي مر بها السائل في الماضي القريب بقدر ما يعكس معدل التشوه اللحظي. علاوة على ذلك ، قد تكون العلاقة بين الإجهاد ومعدل التشوه بعيدة عن الخطية. التأثيرات غير النيوتونية ، على الرغم من أنها مثيرة للاهتمام ، تقع خارج نطاق المناقشة الحالية.

يمكن تحديد نوع ملف تعريف السرعة الذي يقترحه الشكل 9 ب عن طريق احتواء السائل بين لوحين مستويين متوازيين وتحريك لوحة واحدة بالنسبة إلى الأخرى. هناك احتمال في هذه الحالة أن تنزلق طبقات السوائل الملامسة مباشرة لكل لوح عليها ببعض السرعة المحدودة (المشار إليها في الرسم البياني بواسطة سهم يحمل علامة v _{الانزلاق}). إذا كان الأمر كذلك ، يجب أن تكون الضغوط الاحتكاكية المرتبطة بهذه الانزلاق مثل موازنة إجهاد القص ∂ (∂v ₁ / ∂x ₂) التي تمارس على كل من هذه الطبقات ببقية السائل. لا يُعرف سوى القليل عن ضغوط الاحتكاك الصلبة السائلة ، لكن التخمينات الذكية تشير إلى أنها متناسبة في الحجم مع _{الانزلاق} الخامس ، وفي الظروف التي يشير إليها الشكل 9 أ ، المسافة د تحت سطح اللوحة السفلية الثابتة التي يكون فيها الخط المستقيم يجب أن يكون الخط الذي يمثل اختلاف v ₁ مع x ₂ استقراء إلى الصفر من نفس ترتيب حجم قطر الجزيء إذا كان المائع سائلاً أو "المسار الحر المتوسط" الجزيئي إذا كان غازًا. عادة ما تكون هذه المسافات صغيرة جدًا مقارنة بفصل اللوحات ، د. وبناءً على ذلك ، يمكن عادةً معالجة أنماط تدفق السوائل على أنها تخضع لحالة الحدود التي تكون فيها السرعة النسبية للسائل عند واجهة سائلة صلبة صفر. لم يتم العثور على أي دليل موثوق به على فشل التنبؤات استنادًا إلى حالة عدم الانزلاق هذه ، باستثناء في حالة ما يسمى تدفق Knudsen للغازات (أي التدفق عند ضغوط منخفضة بحيث يمكن مقارنة متوسط ​​المسار الحر بطول أبعاد الجهاز).

إذا كان المائع يتدفق بثبات بين لوحتين متوازيتين ثابتتين ، وإذا كان يجب أن تكون سرعته صفر عند الاتصال بهما ، فيجب أن يكون ملف تعريف السرعة بالضرورة هو الشكل الموضح في الشكل 10. قوة في الاتجاه الأمامي بسبب ينتقل ضغط القص η (∂v ₁ / ∂x ₂) إلى الصفائح ، وتعمل قوة متساوية في الاتجاه الخلفي على السائل. وبالتالي لا يمكن الحفاظ على الحركة إلا إذا كان الضغط المؤثر على السائل أكبر على يسار الرسم البياني منه على اليمين. يظهر التحليل الكامل أن ملف تعريف السرعة يكون مكافئًا ، ويشير إلى أن معدل التصريف مرتبط بتدرج الضغط بالمعادلة

حيث W (>> D) هو عرض الألواح ، مقاسة بشكل متعامد على الرسم التخطيطي في الشكل 10. تحليل مماثل لمشكلة التدفق الثابت من خلال أنبوب أسطواني (أفقي) بقطر موحد D ، والذي يمكن أن يساويه الشكل 10 تطبيق جيد ، يظهر معدل التفريغ في هذه الحالة التي تعطى من قبل

تُعرف هذه النتيجة الشهيرة باسم معادلة بوازويل ، ونوع التدفق الذي تشير إليه يسمى تدفق بوازويل.

اللزوجة السائبة

قد تؤثر اللزوجة على مكونات الإجهاد العادية ، σ ₁₁ ، σ ₂₂ ، و ₃₃ ، ، بالإضافة إلى مكونات إجهاد القص. لمعرفة سبب ذلك ، يحتاج المرء إلى فحص الطريقة التي تتحول بها مكونات الضغط عند تدوير المحاور المرجعية. هنا ، سيتم ذكر النتيجة بدون دليل على أن التعبير العام لـ σ ₁₁ المتوافق مع (148) هو

على الجانب الأيمن من هذه المعادلة ، يمثل p ضغط التوازن المحدد من حيث الكثافة المحلية ودرجة الحرارة بواسطة معادلة الحالة ، و b هو معامل لزوجة آخر يعرف باسم اللزوجة السائبة.

تكون اللزوجة السائبة ذات صلة فقط عندما تتغير الكثافة. وبالتالي فإنه يلعب دورًا في توهين الموجات الصوتية في السوائل ويمكن تقديره من حجم التوهين. ومع ذلك ، إذا كان السائل غير قابل للضغط بشكل فعال ، بحيث يمكن تجاهل التغيرات في الكثافة ، فإن التدفق يخضع في كل مكان لحالة الاستمرارية التي

العبارات الواردة في (151) التي تتضمن b ثم تلغي ، ويبسط التعبير إلى

يمكن كتابة معادلات مشابهة ل σ ₂₂ و σ ₃₃. توفر هذه التعبيرات الأبسط الأساس للحجة التالية ، ويمكن ترك اللزوجة السائبة على جانب واحد.

قياس لزوجة القص

تتوفر مجموعة متنوعة من الطرق لقياس لزوجة القص. تتضمن إحدى الطرق القياسية قياس تدرج الضغط على طول الأنبوب لمعدلات التدفق المختلفة وتطبيق معادلة بويزويل. تتضمن الطرق الأخرى قياس إما تخميد التذبذبات الالتوائية للقرص الصلب المدعوم بين لوحين متوازيين عند إدخال السائل في الفراغ بين اللوحات ، أو تأثير السائل على تردد التذبذبات.

يستحق مقياس اللزوجة Couette شرحًا أكمل. في هذا الجهاز ، يشغل المائع الفراغ بين أسطوانتين متحدتين نصف قطري أ و ب (> أ) ؛ يتم تدوير الأسطوانة الخارجية بسرعة زاوية موحدة ω ₀ ، ويتم قياس عزم الدوران الناتج الذي ينتقل إلى الأسطوانة الثابتة الداخلية. إذا تم أخذ المصطلحين على الجانب الأيمن من المعادلة (148) في الاعتبار ، فقد وجد أن إجهاد القص في السائل المتداول يتناسب مع r (dω / dr) بدلاً من (dv / dr) - وليس نتيجة غير متوقعة ، لأنه فقط إذا كانت ω ، السرعة الزاوية للسائل ، تختلف باختلاف نصف القطر r ، فهناك أي انزلاق بين صفيحة أسطوانية من السائل وما يليه. وبالتالي فإن عزم الدوران الذي يتم نقله عبر السائل يتناسب مع r ³ (dω / dr). في الحالة المستقرة ، يجب أن يكون عزم الدوران المتعارض الذي يعمل على الأسطح الداخلية والخارجية لكل صفائح أسطوانية من السوائل بنفس الحجم - وإلا تتسارع الصفيحة - وهذا يعني أن r ³ (dω / dr) يجب أن تكون مستقلة عن r. هناك وضعان أساسيان للحركة لسائل متداول يستوفي هذا الشرط: في أحدهما ، يدور السائل مثل جسم صلب ، مع سرعة زاوية لا تختلف مع r ، وعزم الدوران في كل مكان صفر ؛ في الآخر ، ω يختلف مثل r ⁻². يمكن النظر إلى السرعة الزاوية للسائل في مقياس اللزوجة Couette كمزيج من هذين الوضعين بنسب تفي بشروط الحدود عند r = a و r = b. يتحول العزم المرسل لكل وحدة طول الأسطوانات إلى

يمكن إضافة أنه إذا كانت الأسطوانة الداخلية غائبة ، فإن نمط التدفق الثابت يتكون فقط من الوضع الأول — أي ، يدور السائل مثل جسم صلب بسرعة زاوية موحدة ω ₀. ومع ذلك ، إذا كانت الأسطوانة الخارجية غائبة ، وتدور الأسطوانة الداخلية ، فإنها تتكون فقط من الوضع الثاني. تسقط السرعة الزاوية مثل r ⁻² ، وتسقط السرعة v مثل r ⁻¹.

في معادلة الحركة الواردة في القسم التالي ، تحدث لزوجة القص فقط في التركيبة (η / ρ). يحدث هذا المزيج بشكل متكرر في جدالات ديناميكيات السوائل بحيث تم تسميته باسم خاص - اللزوجة الحركية. تبلغ اللزوجة الحركية في درجات الحرارة والضغوط العادية حوالي 10 ⁻⁶ متر مربع في الثانية للمياه وحوالي 1.5 × 10 ⁻⁵ متر مربع في الثانية للهواء.